A đa tạp là một không gian tô pô M {\displaystyle M} thỏa mãn:[1]

• M {\displaystyle M} là Hausdorff và có một cơ sở đếm được (i.e. khả ly).
• M {\displaystyle M} đồng phôi địa phương với các tập mở của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} với n {\displaystyle n} cố định, tức là với mọi p ∈ M {\displaystyle p\in M} , tồn tại một lân cận mở U {\displaystyle U} chứa p {\displaystyle p} và một đồng phôi φ : U → V {\displaystyle \varphi :U\to V} với V ⊆ R n {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}} . Một cặp ( U , ϕ ) {\displaystyle (U,\phi )} như vậy được gọi là một bản đồ (hay một hệ tọa độ). Một tập hợp các bản đồ phủ M {\displaystyle M} được gọi là một át-lát của M {\displaystyle M} .
• Các ánh xạ chuyển bản đồ (hay đổi hệ tọa độ) ψ ∘ φ − 1 : φ ( U 1 ∩ U 2 ) → ψ ( U 1 ∩ U 2 ) {\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})} là các hàm trơn.
• (Tập hợp tất cả các bản đồ tương thích với cấu trúc vi phân của M {\displaystyle M} được gọi là át-lát tối đại của M {\displaystyle M} ).

Ta cũng có thể thay điều kiện các hàm trơn bằng các hàm khả vi k {\displaystyle k} lần. Khi đó đa tạp được gọi là trơn bậc k {\displaystyle k} .